Si vous avez déjà lu des manuels de pointe ou des papiers sur les appareils électroniques, vous avez peut-être été étonné de voir l’utilisation de numéros complexes utilisés dans l’analyse des circuits AC. Un nombre complexe comporte deux parties: une partie réelle et une partie imaginaire. J’ai souvent pensé que beaucoup de livres et de classes soient simplement brillants sur ce que cela signifie vraiment. Quelle partie de l’énergie électrique est imaginaire? Pourquoi faisons-nous cela?

La réponse courte est l’angle de phase: le délai entre une tension et un courant dans un circuit. Comment peut-on être un angle? Cela fait partie de ce que je devrai expliquer.

Tout d’abord, considérons une résistance. Si vous appliquez une tension à celle-ci, un certain courant découlera que vous pouvez identifier la loi de OHM. Si vous connaissez la tension immédiate sur la résistance, vous pouvez dériver le courant et vous pouvez trouver le pouvoir: combien de travail fonctionnera par l’électricité. C’est bien pour le courant continu à travers des résistances. Mais des composants comme les condensateurs et les inducteurs avec un courant alternatif n’obéissent pas la loi de Ohm. Prendre un condensateur. Le courant ne coule que lorsque le condensateur est chargé ou décharge, le courant à travers elle est lié à la vitesse de changement de la tension et non au niveau de tension immédiate.

Cela implique que si vous tracez la tension d’onde sinusoïdale contre le courant, le sommet de la tension sera le point de vue minimal et le courant supérieur sera de l’endroit où la tension est à zéro. Vous pouvez voir que dans cette image, où l’onde jaune est la tension (V) et la onde verte est à jour (I). Voyez comment le haut vert est l’endroit où la courbe jaune traverse zéro? Et le haut jaune est l’endroit où la courbe verte traverse zéro?

Ces ondes sinusoïdes et cosines liées pourraient vous rappeler quelque chose – les coordonnées X et Y d’un point étant balayées autour d’un cercle à un débit constant, et c’est notre connexion à des nombres complexes. À la fin du poteau, vous verrez que ce n’est pas tout ce que compliqué et la quantité “imaginaire” n’est pas imaginaire du tout.

Simplifier les hypothèses

Commencez par un signal audio de quelqu’un qui parle et nourrit cela dans votre circuit. C’est inondé avec différentes fréquences qui changent constamment. Si vous aviez un circuit avec uniquement des résistances, vous pouvez choisir un point à temps, trouver tous les composants de fréquence présents ou l’amplitude immédiate, dérivez les courants immédiats et vous pouvez utiliser des techniques classiques sur celle-ci. Vous devrez juste le faire encore et encore et encore. Si le circuit comporte des inducteurs ou des condensateurs, dont le comportement dépend beaucoup plus que la tension à travers eux, cela devient très difficile très rapidement.

Au lieu de cela, il est plus simple de commencer avec une onde sinusoïdale à une seule fréquence et suppose qu’un signal complexe de nombreuses fréquences différentes n’est que la somme de nombreux sines simples. Un moyen de penser à un condensateur est de considérer cela une résistance qui a une résistance plus élevée à des fréquences inférieures. Un inducteur agit comme une résistance qui devient plus grande à des fréquences plus élevées. Parce que nous ne considérons qu’une seule fréquence, nous pouvons convertir toutes les valeurs de capacité et d’inductance à une impédance: une résistance qui n’est que de bonne à la fréquence d’intérêt. Ce qui est beaucoup plus, c’est que nous pouvons représenter l’impédance en tant que nombre complexe afin que nous puissions suivre l’angle de phase du circuit, ce qui concerne directement un délai de temps particulier entre la tension et le courant.

Pour une résistance vraie, la partie imaginaire est 0. Cela a du sens car la tension et le courant sont en phase et pour cette raison, il n’y a pas de délai de temps. Pour un condensateur pur ou un inducteur, la partie réelle est zéro. De vrais circuits auront des combinaisons et auront ainsi une combinaison de parties réelles et imaginaires. Des chiffres comme ceux-ci sont des nombres complexes et vous pouvez les écrire de différentes manières différentes.

Examen complexe

La première chose à retenir est que le mot imaginaire n’est qu’un terme arbitraire. Peut-être qu’il vaut mieux oublier l’implilant normal du mot imaginaire. Ces quantités imaginaires ne sont pas une sorte d’électricité ou de résistance magique. Nous utilisons des nombres imaginaires pour représenter les délais de temps dans les circuits. C’est tout.

Il y a une longue histoire sur ce que les nombres imaginaires impliquent de pure mathématiques et pourquoi ils sont appelés imaginaires. Vous pouvez regarder cela si vous êtes une tête mathématique, mais vous devez savoir que les livres de mathématiques utilisent le symbole I pour la partie imaginaire d’un nombre complexe. Cependant, comme les ingénieurs électriques utilisent I pour le courant, nous utilisons plutôt J. Il vous suffit de vous souvenir de la lecture de livres mathématiques, vous verrez i et ce n’est pas un courant, et c’est la même chose que J dans des livres électriques.

Il existe plusieurs façons de représenter un nombre complexe. Le moyen le plus simple est d’écrire la partie réelle et la partie imaginaire comme s’ajoute ensemble avec j. Alors considérez ceci:

5 + 3J

Nous disons que la partie réelle est 5 et la partie imaginaire est 3. Les nombres écrits sous ce formulaire sont en format rectangulaire. Vous pouvez le tracer sur les lignes numériques comme ceci:

Cela conduit à la deuxième façon d’écrire un nombre complexe: notation polaire. Si le point sur le graphique est de 5 + 3J, vous pouvez noter qu’un vecteur peut représenter la SAme pointez. Il aura une longueur ou une ampleur et un angle (l’angle qu’il fait avec l’axe des x du graphique). Dans ce cas, la magnitude est de 5,83 (environ) et l’angle n’est qu’un peu moins de 31 degrés.

C’est intéressant car c’est un vecteur et il y a beaucoup de bons outils mathématiques pour manipuler les vecteurs. Il va devenir vraiment essentiel dans une minute car l’angle peut correspondre à un angle de phase dans un circuit et la magnitude a également une relation physique directe.

Angle de phase

Rappelez-vous que j’ai dit que nous faisons une analyse AC à une seule fréquence? Si vous tracez la tension alternative à travers et le courant traversant une résistance à une certaine fréquence, les deux ondes sinusoïdales allieront exactement. C’est parce qu’une résistance ne retarde rien. Nous dirions que l’angle de phase sur la résistance est zéro degrés.

Toutefois, pour un condensateur, le courant semblera à augmenter avant la tension de peu de temps. Cela a du sens si vous pensez à votre intuition sur les condensateurs à DC. Lorsqu’un condensateur est déchargé, il n’a aucune tension à travers elle, mais elle consommera beaucoup de courant – elle ressemble temporairement à un court-circuit. Au fur et à mesure que la charge s’appuie, la tension augmente mais la chute actuelle jusqu’à ce que le condensateur soit complètement chargé. À ce stade, la tension est au maximum, mais le courant est zéro ou presque.

Les inducteurs ont l’agencement opposé: la tension mène du courant, de sorte que les courbes ressemblaient à la même chose, mais la courbe V est maintenant la courbe I et i Curve est maintenant le V. Vous pouvez maintenant vous rappeler qu’avec l’eli mnémonique facile L’homme de glace, où e est tension comme dans la loi de Ohm. Lorsque vous parlez de déphasage dans un circuit, vous impliquez vraiment combien le courant conduit ou est décalé la tension à une fréquence donnée. C’est une idée essentielle: la déphasage ou l’angle correspond à la quantité de temps que le courant conduit ou est décalé la tension. Vous pouvez également mesurer la phase entre d’autres choses telles que deux sources de tension différentes, mais généralement lorsque vous dites “Ce circuit a un décalage de phase de 22 degrés” Vous impliquez la tension vs le délai de temps de courant.

Gardez à l’esprit une onde sinusoïdale est comme un cercle plié pour s’adapter à une ligne. Donc, si le début de l’onde sinusoïdale est à 0 degrés, le haut du haut positif est de 90 degrés. Le deuxième croisement est de 180 degrés, et le haut négatif est de 270 degrés, tout comme les points sur un cercle. Étant donné que la onde sinusoïdale est à une fréquence fixe, mettre quelque chose à une marque de degré particulière est la même que d’exprimer un temps.

Dans le cas d’une résistance, le changement est de 0 degrés. Donc, dans la notation complexe, une résistance de 100 ohms est de 100 + 0J. Cela peut aussi être 100∠0. Pour un condensateur, le courant augmente avant la tension de 90 degrés de sorte qu’un condensateur ait un déphasage de -90. Mais quelle est la magnitude?

Vous avez probablement appris que la réactance capacitive est égale à 1 / (2πfc) où F est la fréquence de Hz. C’est la magnitude de la forme polaire. Bien sûr, car -90 degrés est tout droit dans la ligne de numéro, il s’agit également de la partie imaginaire de la forme rectangulaire (et la partie réelle est nulle). Si la réactance capacitive (XC) est égale à 50, par exemple, vous pouvez écrire 0-50J ou 50∠-90. Les inducteurs fonctionnent de même mais la réactance (XL) est de 2πfl et l’angle de phase est de 90 degrés. Donc, une inductance avec la même réactance serait de 0 + 50j ou 50∠90.

Trouver le pouvoir

Regardons un exemple rapide de ce que ces angles de phase sont bons pour: calculer le pouvoir. Vous savez que la puissance est du courant de tension. Donc, si un condensateur a 1 V à travers elle (pic) et dessine 1 A à travers (Peak), est la puissance 1 watt? Non, car il ne dessine pas 1 V au 1 A en même temps.

Considérez cette simulation (voir la figure à droite). Vous pouvez voir les traces à gauche montrer le quart de phase de 90 degrés très clairement (la trace verte est la tension et le jaune est à jour). La tension supérieure est de 1,85 V et les pics actuels à environ 4,65 mA. Le produit de la tension temporelle Le courant est de 8,6 MW. Mais ce n’est pas la meilleure réponse. La puissance est en réalité de 4,29 MW (voir le graphique à droite). Dans un condensateur idéal, la puissance n’est pas consommée. Il est stocké et libéré, c’est pourquoi le pouvoir devient négatif. Bien sûr, des condensateurs réels présentent une certaine perte.

Notez que l’alimentation ne propose pas 4,29 MW, mais beaucoup moins. C’est parce que la résistance est la seule chose qui consommait du pouvoir. La tension et le courant sont en phase pour cela et une partie de la puissance qu’elle dissipe provient de la charge stockée du condensateur.

Circuits

La magnitude du vecteur est utilisable dans la loi de Ohm. Par exemple, à 40 Hz, le XC du circuit d’exemple est juste moins de 400 ohms. Donc, l’impédance complexe totale du circuit RC est de 1000 – 400J.

Si vous êtes adepte avec des vecteurs, vous pouvez faire polaire en écrivant 1000∠0 + 400∠-90. Cependant, il est généralement plus simple d’écrire la version rectangulaire et de convertir en polaire (Wolfram Alpha est bon à cela; rappelez-vous simplement d’utiliser i au lieu de j). La magnitude n’est que le théorème de Pythagore et l’angle est un trigle facile. Je ne vais pas y entrer, mais voici la formule où R et J sont respectivement les parties réelles et imaginaires.

mag = sqrt (r^ 2 + j ^ 2)
Phase = arctan (j / r)

Notre exemple, alors, est 1077∠-21.8.

Alors, quel est le pouvoir sortant de la source de tension? La puissance est E ^ 2 / R (ou, en fait, E ^ 2 / Z dans ce cas). SO 25/1077 = 23 MW Peak. La simulation montre 22,29 et parce que j’ai arrondi quelques valeurs, c’est assez proche.

C’est ça?

Ce n’est pas ça, bien sûr, mais c’est tout ce que vous devez savoir pendant de nombreuses fins. De nombreux textes électroniques de niveau de passe-temps lésent sur les détails et fonctionnent avec des magnitudes. Pour des circuits faciles, cela peut fonctionner, mais pour quelque chose de complexe (aucun jeu de mots destiné), il est rapide.

À propos, cet exemple a montré aux éléments de la série. Cependant, vous pouvez ajouter des réactualités en parallèle, tout comme vous faites des résistances en parallèle.

Les concepts essentiels dont vous avez besoin pour vous rappeller sont:

L’analyse d’un circuit AC survient principalement à une seule fréquence avec une entrée d’onde sinusoïdale.

Les nombres imaginaires ne sont pas imaginaires.

Les magnitudes de nombres complexes de formes polaires peuvent être traitées comme une résistance.

L’angle de phase est le délai entre la tension et la forme d’onde actuelle.

Il y a beaucoup de détails que j’ai parcouru. Vous n’avez probablement pas besoin de savoir comment je suis vraiment la racine carrée de la négative. Ou comment le numéro d’Euler joue dans cette simplicité et la simplicité de l’intégration et de la différenciation des ondes sinusoïdales écrites avec une amplitude et un angle de phase. Si vous êtes intéressé par l’histoire des mathématiques, des chiffres imaginaires ont une histoire de derrière eux. Si vous voulez quelque chose de beaucoup plus pratique, Khan Academy a des vidéos utiles. Cependant, ce qui est couvert ici devrait être tout ce dont vous avez besoin de savoir travailler avec des circuits alternatifs.